【两向量垂直的公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。向量的垂直关系不仅在数学中有重要意义，在物理、工程和计算机图形学等领域也广泛应用。本文将总结两向量垂直的判定公式，并通过表格形式清晰展示其应用方式。
一、两向量垂直的定义
如果两个非零向量 a 和 b 的夹角为 90°，则称这两个向量 互相垂直，记作 a ⊥ b。
二、两向量垂直的判定公式
1. 向量点积为零
设向量 a = (a₁, a₂)，向量 b = (b₁, b₂)，它们的点积（内积）为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$
当且仅当：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
时，向量 a 与向量 b 垂直。
2. 三维空间中的点积公式
若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
$$
同样，当该值为 0 时，两向量垂直。
三、常用公式总结表
| 向量类型 | 向量表示 | 点积公式 | 判定条件 |
| 二维向量 | a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂) | a₁b₁ + a₂b₂ | 等于 0 时垂直 |
| 三维向量 | a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃) | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | 等于 0 时垂直 |
四、应用示例
- 若 a = (3, 4)，b = (-4, 3)
则点积为：$ 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0 $，说明 a ⊥ b。
- 若 a = (1, 2, 3)，b = (2, -1, 0)
则点积为：$ 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0 $，说明 a ⊥ b。
五、注意事项
- 零向量与任何向量都视为“垂直”，但通常不讨论零向量的垂直性。
- 在实际计算中，点积法是判断向量垂直最简便、最常用的方法。
通过以上内容可以看出，两向量垂直的判定主要依赖于点积的结果。掌握这一公式，有助于在多个学科领域中快速判断向量之间的几何关系。
