【二次函数顶点坐标公式推导过程】在学习二次函数的过程中，了解其图像的顶点坐标是十分重要的。顶点是抛物线的最高点或最低点，决定了函数的极值。本文将总结二次函数顶点坐标的推导过程，并以表格形式展示关键步骤与结果。
一、二次函数的一般形式
二次函数的标准形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$
其中：
- $ a $：决定抛物线的开口方向和宽窄；
- $ b $、$ c $：影响抛物线的位置。
二、顶点坐标的定义
对于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其图像是一个抛物线，顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)
$$
这个公式可以通过配方法或微积分法进行推导。
三、推导过程（配方法）
1. 从标准式出发
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
2. 提取公因数 $ a $
$$
y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c
$$
3. 配方
在括号内补上一次项系数一半的平方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
4. 代入原式
$$
y = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c
$$
5. 展开并整理
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
$$
6. 合并常数项
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)
$$
7. 得到顶点式
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}
$$
由此可得顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)
$$
四、推导过程总结（表格）
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 原始表达式 | $ y = ax^2 + bx + c $ |
| 2 | 提取公因数 | $ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c $ |
| 3 | 配方处理 | $ x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $ |
| 4 | 代入配方结果 | $ y = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c $ |
| 5 | 展开并整理 | $ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c $ |
| 6 | 合并常数项 | $ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} $ |
| 7 | 得到顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $ |
五、小结
通过配方法，我们成功地将标准形式的二次函数转化为顶点式，从而得到了顶点坐标的公式。这一过程不仅有助于理解二次函数的几何特性，也为后续求解最值问题提供了基础。
掌握顶点坐标的推导方法，能够帮助我们在实际问题中更快速地分析和应用二次函数。
