【矩阵的外积是怎样定义】在数学中，矩阵的外积（Outer Product）是一种重要的运算方式，常用于线性代数、物理学和工程学等领域。与内积不同，外积的结果是一个矩阵，而不是一个标量。它能够将两个向量扩展为一个二维矩阵，从而体现它们之间的张量关系。
一、外积的基本概念
外积是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个矩阵。如果向量 a 是一个列向量（n×1），向量 b 是一个行向量（1×m），那么它们的外积 a ⊗ b 就是一个 n×m 的矩阵。
外积也被称为“张量积”或“克罗内克积”的一种特殊情况。
二、外积的计算方式
设向量 a = [a₁, a₂, ..., aₙ]ᵀ（列向量），向量 b = [b₁, b₂, ..., bₘ]（行向量），则它们的外积为：
$$
\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} =
\begin{bmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_m \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_m \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_m
\end{bmatrix}
$$
三、外积的性质
| 属性 | 描述 |
| 维度 | 若 a 是 m×1 向量，b 是 n×1 向量，则外积为 m×n 矩阵 |
| 结果类型 | 一个矩阵，而非标量 |
| 可交换性 | 不可交换，即 a ⊗ b ≠ b ⊗ a |
| 线性性 | 外积满足线性性质，如：(a + b) ⊗ c = a ⊗ c + b ⊗ c |
四、外积与内积的区别
| 项目 | 外积 | 内积 |
| 运算对象 | 两个向量（列 × 行） | 两个向量（行 × 列） |
| 结果类型 | 矩阵 | 标量 |
| 应用场景 | 张量分析、图像处理等 | 向量夹角、投影等 |
五、示例
设向量 a = [1, 2]ᵀ，向量 b = [3, 4]，则它们的外积为：
$$
\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} =
\begin{bmatrix}
1 \cdot 3 & 1 \cdot 4 \\
2 \cdot 3 & 2 \cdot 4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8
\end{bmatrix}
$$
六、总结
矩阵的外积是一种将两个向量结合成一个矩阵的运算，具有明确的计算规则和广泛的应用场景。理解外积有助于更深入地掌握线性代数中的张量结构和高维数据表示方法。通过对比内积，可以更好地把握两者在数学和应用上的区别。
