在数学中，函数的性质可以分为多种类型，其中偶函数和奇函数是最常见的分类之一。偶函数与奇函数的定义如下：

- 偶函数满足条件 \( f(-x) = f(x) \)，即关于 \( y \)-轴对称。

- 奇函数满足条件 \( f(-x) = -f(x) \)，即关于原点对称。

那么，当我们将一个偶函数与一个奇函数相乘时，得到的结果会是什么类型的函数呢？

假设我们有一个偶函数 \( g(x) \) 和一个奇函数 \( h(x) \)，它们的乘积为 \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)。接下来，我们验证 \( f(x) \) 的性质：

\[

f(-x) = g(-x) \cdot h(-x)

\]

由于 \( g(x) \) 是偶函数，因此 \( g(-x) = g(x) \)；而 \( h(x) \) 是奇函数，因此 \( h(-x) = -h(x) \)。将这些代入上式：

\[

f(-x) = g(x) \cdot (-h(x)) = -g(x) \cdot h(x) = -f(x)

\]

由此可见，\( f(x) \) 满足 \( f(-x) = -f(x) \)，因此 \( f(x) \) 是一个奇函数。

总结来说，偶函数与奇函数的乘积是一个奇函数。这一结论在函数分析中具有重要意义，尤其是在研究函数的对称性和积分性质时。

希望这个简单的推导能够帮助你更好地理解函数的性质！如果你有其他疑问，欢迎继续探讨。