首页 > 生活常识 >

二次函数顶点坐标公式是怎么来的

更新时间:发布时间:

问题描述:

二次函数顶点坐标公式是怎么来的,这个怎么解决啊?快急疯了?

最佳答案

推荐答案

2025-08-07 22:42:59

二次函数顶点坐标公式是怎么来的】二次函数是初中数学中的重要内容,其标准形式为 $ y = ax^2 + bx + c $。在学习过程中,我们经常需要用到顶点坐标来分析抛物线的最高点或最低点。顶点坐标的计算方法是:

$$

\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)

$$

那么,这个公式的来源是什么呢?本文将通过推导和总结的方式,解释这一公式的由来。

一、公式来源的推导过程

1. 配方法推导顶点式

将一般式 $ y = ax^2 + bx + c $ 转化为顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $,其中 $ (h, k) $ 是顶点坐标。

- 步骤一:提取 $ a $ 的系数

$$

y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c

$$

- 步骤二:配方

$$

x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2

$$

- 步骤三:代入原式

$$

y = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c

$$

$$

y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c

$$

- 最终得到顶点式:

$$

y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)

$$

所以,顶点坐标为:

$$

h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}

$$

2. 利用导数求极值点

对于函数 $ y = ax^2 + bx + c $,求导得:

$$

\frac{dy}{dx} = 2ax + b

$$

令导数为0,解得:

$$

x = -\frac{b}{2a}

$$

代入原函数可得对应的 $ y $ 值,即顶点纵坐标。

二、总结与对比

方法 推导步骤 优点 缺点
配方法 提取系数 → 配方 → 整理 直观易懂 过程较繁琐
导数法 求导 → 解方程 → 代入 简洁高效 需要微积分知识

三、结论

无论是通过配方法还是导数法,都可以得出二次函数的顶点坐标公式:

$$

\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)

$$

这个公式不仅帮助我们快速找到抛物线的顶点位置,还对理解二次函数的图像性质具有重要意义。掌握其推导过程有助于加深对二次函数的理解,并提升数学思维能力。

免责声明:本答案或内容为用户上传,不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。