在学习数学的过程中，微积分无疑是一个重要的分支。它不仅在理论研究中占有举足轻重的地位，而且在实际应用中也发挥着不可替代的作用。今天，我们就来一起探讨几个经典的微积分题目。

首先来看第一题：求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的极值点。这是一道典型的利用导数寻找极值的问题。我们先计算一阶导数 \(f'(x)\)，得到 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)。令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x_1 = 1\) 和 \(x_2 = 3\)。接着，我们需要判断这两个点是否为极值点。通过二阶导数 \(f''(x) = 6x - 12\) 来进行判定，当 \(x = 1\) 时，\(f''(1) < 0\)，所以 \(x = 1\) 是极大值点；当 \(x = 3\) 时，\(f''(3) > 0\)，因此 \(x = 3\) 是极小值点。

接下来是第二题：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx\)。这是一个无法用初等函数表示结果的积分问题，通常需要借助数值方法或特殊函数（如误差函数）来解决。这里我们采用近似计算的方法，将区间 [0, 1] 分成 n 等份，每份宽度为 \(\Delta x = \frac{1}{n}\)，然后使用梯形公式或者辛普森公式进行逼近。随着 n 的增大，结果会逐渐收敛到真实值。

最后一个问题：讨论无穷级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) 的敛散性。这个级数实际上是著名的交错调和级数，根据莱布尼茨判别法可以证明它是条件收敛的。为了进一步分析其性质，我们可以考虑部分和序列 \(S_k = \sum_{n=1}^k \frac{(-1)^{n+1}}{n}\)，并观察其极限行为。

以上三道题目涵盖了微积分中的几个核心概念，包括极值点的确定、定积分的计算以及无穷级数的敛散性分析。这些问题不仅能够帮助我们巩固基础知识，还能激发对更深层次数学问题的兴趣与探索欲望。希望这些练习能为大家提供一些启发，并在今后的学习中取得更好的成绩！