【无穷级数常见6个公式是什么有哪些】无穷级数是数学分析中的重要内容，广泛应用于微积分、物理、工程等领域。在学习和应用中，掌握一些常见的无穷级数公式是非常有必要的。以下是对无穷级数常见6个公式的总结，以文字加表格的形式进行展示。
一、
1. 等比数列求和公式：适用于首项为 $ a $，公比为 $ r $（$
2. 调和级数：形式为 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $，这是一个发散级数，即其和趋向于无穷大。
3. p-级数：形式为 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $，当 $ p > 1 $ 时收敛，当 $ p \leq 1 $ 时发散。
4. 交错级数：如 $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} $，满足莱布尼茨判别法时可判断其收敛性。
5. 泰勒级数：将函数展开为幂级数的形式，例如 $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $，适用于在某点附近近似函数值。
6. 傅里叶级数：用于将周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数之和，常用于信号处理和偏微分方程求解。
二、表格总结
| 序号 | 级数名称 | 通项公式 | 收敛条件 | 和或性质 | ||
| 1 | 等比级数 | $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $ | $ | r | < 1 $ | $ S = \frac{a}{1 - r} $ |
| 2 | 调和级数 | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ | 无收敛条件（发散） | 发散，和趋于无穷 | ||
| 3 | p-级数 | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $ | $ p > 1 $ | 当 $ p > 1 $ 时收敛 | ||
| 4 | 交错级数 | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} $ | 满足莱布尼茨条件 | 收敛，和为 $ \ln(2) $ | ||
| 5 | 泰勒级数 | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $ | 在收敛域内 | 展开函数，用于近似计算 | ||
| 6 | 傅里叶级数 | $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $ | 周期函数 | 可表示周期函数，用于信号分析 |
三、结语
以上是无穷级数常见6个公式的总结，涵盖了基本的数列求和、发散与收敛判断、以及函数展开等内容。掌握这些公式有助于理解级数的基本性质，并在实际问题中灵活运用。建议结合具体例题加深理解，提升对无穷级数的应用能力。
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