【求极限lim的常用公式是什么】在数学分析中，求极限是微积分的重要基础之一。对于初学者或学生来说，掌握一些常见的极限公式和方法是非常有帮助的。本文将总结一些常用的极限公式，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本极限公式
以下是一些常见的极限公式，适用于不同的函数类型：
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的基本极限 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 余弦函数的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 自然对数底e的定义 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$（$a > 0$） | 指数函数的一般形式 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$（$k$为常数） | 二项展开式的极限形式 |
| 8 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 对数函数增长缓慢 |
| 9 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0$（$k$为正整数） | 指数函数增长快于多项式 |
| 10 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 正切函数的极限 |
二、常见极限方法总结
除了上述基本公式外，还有一些常用的求极限的方法，包括：
1. 代入法：直接代入变量值，若结果为有限数，则即为极限。
2. 因式分解法：用于分式型极限，如$\frac{0}{0}$型，通过因式分解约简。
3. 有理化法：适用于根号下的表达式，通过有理化消去无理部分。
4. 洛必达法则（L’Hospital Rule）：适用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型极限。
5. 泰勒展开法：利用泰勒级数展开函数，简化极限计算。
6. 夹逼定理：适用于无法直接计算的极限，通过上下界逼近求解。
7. 无穷小量替换：用等价无穷小代替原式，简化计算。
8. 单调有界定理：用于证明某些数列的极限存在。
三、注意事项
- 在使用极限公式时，需注意变量趋近的方向（如$x \to 0^+$、$x \to \infty$等）。
- 对于未定型（如$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$等），需要结合其他方法处理。
- 熟悉导数与积分的关系，有助于理解一些极限的来源和意义。
总结
掌握这些常用极限公式和方法，能够帮助我们更高效地解决各类极限问题。建议在学习过程中多做练习，逐步熟悉各种题型的处理方式，提高解题能力。
