【余子式和代数余子式是什么?】在矩阵与行列式的计算中，余子式（Minor）和代数余子式（Cofactor）是两个非常重要的概念。它们在计算行列式、求逆矩阵以及解线性方程组中都起着关键作用。以下是对这两个概念的详细解释，并通过表格形式进行对比总结。
一、基本定义
1. 余子式（Minor）
余子式是指在一个n阶行列式中，去掉某一行和某一列后所剩下的(n-1)阶行列式的值。通常用 $ M_{ij} $ 表示第i行第j列元素的余子式。
举例说明：
对于一个3×3的矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
则元素 $ a_{11} $ 的余子式为：
$$
M_{11} = \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}
$$
2. 代数余子式（Cofactor）
代数余子式是在余子式的基础上乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $ 得到的。即：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
代数余子式常用于行列式的展开计算。
二、余子式与代数余子式的区别
| 概念 | 定义 | 符号表示 | 是否有符号因子 | 应用场景 |
| 余子式 | 去掉某一行一列后的剩余行列式的值 | $ M_{ij} $ | 否 | 计算行列式、求逆矩阵 |
| 代数余子式 | 余子式乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $ | $ C_{ij} $ | 是 | 行列式展开、求逆矩阵、克莱姆法则 |
三、应用举例
假设我们有一个3×3矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
计算元素 $ a_{22} = 5 $ 的余子式和代数余子式：
- 余子式 $ M_{22} $：
$$
M_{22} = \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9
\end{vmatrix}
= 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 9 - 21 = -12
$$
- 代数余子式 $ C_{22} $：
$$
C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot M_{22} = 1 \cdot (-12) = -12
$$
四、总结
余子式是计算行列式时的基础工具，而代数余子式则是将余子式与符号结合后的结果，广泛应用于行列式的展开、求逆矩阵等操作中。理解这两者的区别和联系，有助于更深入地掌握线性代数的核心内容。
关键词：余子式、代数余子式、行列式、矩阵、克莱姆法则
