【正三棱锥的外接球半径如何求解】在立体几何中，正三棱锥（即底面为等边三角形，且顶点在底面中心正上方的三棱锥）的外接球半径是一个常见的问题。正确求解该半径不仅有助于理解几何体的空间结构，也常用于数学竞赛、考试或工程设计中。
以下是关于“正三棱锥的外接球半径如何求解”的总结与分析。
一、基本概念
- 正三棱锥：底面是等边三角形，顶点在底面中心的正上方。
- 外接球：经过正三棱锥所有顶点的球体，其球心为外心。
- 外接球半径：从球心到任一顶点的距离。
二、求解方法总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定正三棱锥的底面边长 $ a $ 和高 $ h $ |
| 2 | 计算底面等边三角形的外接圆半径 $ R_{\text{底}} = \frac{a}{\sqrt{3}} $ |
| 3 | 设正三棱锥的顶点为 $ A $，底面中心为 $ O $，则 $ AO = h $ |
| 4 | 外接球球心位于从底面中心垂直向上的某一点，设为 $ O' $，距离底面为 $ x $ |
| 5 | 建立方程：$ (R)^2 = (x)^2 + R_{\text{底}}^2 $ 和 $ (R)^2 = (h - x)^2 $ |
| 6 | 联立两个方程求解 $ R $ |
三、公式推导
根据上述步骤，可得：
$$
R^2 = x^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 \quad \text{(1)}
$$
$$
R^2 = (h - x)^2 \quad \text{(2)}
$$
将(1)和(2)联立：
$$
x^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = (h - x)^2
$$
展开并整理：
$$
x^2 + \frac{a^2}{3} = h^2 - 2hx + x^2
$$
消去 $ x^2 $ 后：
$$
\frac{a^2}{3} = h^2 - 2hx
$$
解出 $ x $：
$$
x = \frac{h^2 - \frac{a^2}{3}}{2h}
$$
再代入任一方程求 $ R $，例如代入(2)：
$$
R = \sqrt{(h - x)^2} = \left
$$
化简后得到：
$$
R = \frac{\sqrt{a^2 + 3h^2}}{2\sqrt{3}}
$$
四、结论
正三棱锥的外接球半径 $ R $ 可通过以下公式计算：
$$
R = \frac{\sqrt{a^2 + 3h^2}}{2\sqrt{3}}
$$
其中：
- $ a $ 是底面等边三角形的边长；
- $ h $ 是正三棱锥的高。
五、应用示例
假设一个正三棱锥的底面边长为 $ a = 3 $，高为 $ h = 4 $，则：
$$
R = \frac{\sqrt{3^2 + 3 \times 4^2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{9 + 48}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{57}}{2\sqrt{3}} \approx 2.16
$$
六、小结
正三棱锥的外接球半径可以通过几何分析和代数推导得出，关键在于理解其对称性和利用直角三角形关系。掌握这一方法，有助于更深入地理解空间几何的性质和规律。
