【正交变换的定义】正交变换是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。它描述的是在保持向量长度和向量间夹角不变的前提下进行的线性变换。正交变换具有良好的几何性质，能够保持图形的形状和大小不变，因此在实际问题中具有重要意义。
一、正交变换的定义
正交变换是指一个从欧几里得空间到自身的线性变换，该变换满足以下条件：
- 保持内积不变：对于任意两个向量 $ \mathbf{u} $ 和 $ \mathbf{v} $，有
$$
\langle T(\mathbf{u}), T(\mathbf{v}) \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle
$$
- 保持长度不变：即对任意向量 $ \mathbf{v} $，有
$$
\
$$
- 矩阵表示为正交矩阵：若以矩阵形式表示，其对应的矩阵 $ A $ 满足
$$
A^T A = I
$$
其中 $ I $ 是单位矩阵，$ A^T $ 是 $ A $ 的转置矩阵。
二、正交变换的性质总结
| 属性 | 描述 |
| 线性性 | 正交变换是线性变换，满足加法和数乘的封闭性 |
| 保距性 | 变换前后两点之间的距离不变 |
| 保角性 | 向量之间的夹角不变 |
| 保持内积 | 向量的内积在变换后保持不变 |
| 逆变换存在 | 正交变换的逆变换也是正交变换 |
| 行列式值 | 行列式为 ±1，表示方向可能改变或保持 |
| 特征值 | 所有特征值的模为 1，且实正交变换的特征值为 ±1 或共轭复数 |
三、常见的正交变换类型
| 类型 | 定义 | 示例 |
| 旋转 | 绕某一点或轴转动 | 二维平面上的绕原点旋转 |
| 反射 | 关于某条直线或平面的镜像对称 | 二维平面上关于x轴的反射 |
| 恒等变换 | 不改变任何向量的变换 | 单位矩阵所表示的变换 |
| 旋转+反射 | 结合旋转与反射的复合变换 | 如三维空间中的旋转与镜像组合 |
四、正交变换的应用
- 计算机图形学：用于物体的旋转、缩放和翻转。
- 信号处理：如傅里叶变换、小波变换等，常涉及正交基。
- 物理力学：描述刚体运动，保持物体形状不变。
- 数据压缩：通过正交变换（如DCT）实现高效编码。
五、正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在有限维空间中可以由正交矩阵来表示。正交矩阵的列向量构成一组标准正交基，因此它们在几何上对应于旋转或反射等操作。
总结
正交变换是一种重要的线性变换，具有保持距离、角度和内积不变的特性。它不仅在数学理论中占据重要地位，也在多个实际应用领域中发挥着关键作用。理解正交变换的定义及其性质，有助于深入掌握线性代数和相关学科的核心内容。
